Числовые параметры законов распределения

Числовые характеристики законов рассредотачивания


Общие сведения. Как отмечалось выше, функции рассредотачивания являются самым универсальным методом описания поведения результатов измерений и случайных погрешностей. Но для их определения нужно проведение очень долгих и тщательных исследовательских работ и вычислений. Почти всегда бывает довольно охарактеризовать случайные величины при помощи ограниченного числа особых характеристик, основными из которых являются:
- центр рассредотачивания;
- исходные и центральные моменты и производные от их коэффициенты - математическое ожидание (МО), СКО, эксцесс, контрэксцесс и коэффициент асимметрии;
- энтропийный коэффициент.
Понятие центра рассредотачивания. Координата центра рассредотачивания указывает положение случайной величины на числовой оси и может быть найдена несколькими методами. Более базовым является центр симметрии, т.е. нахождение таковой точки Хм на оси х, слева и справа от которой вероятности возникновения разных значений случайной величины схожи и равны 0,5:



Точку ХM именуют медианой либо 50% -ным квантилем. Для ее нахождения у рассредотачивания случайной величины должен существовать только нулевой исходный момент.
Можно найти центр рассредотачивания как центр масс рассредотачивания, т.е. таковой точки , относительно которой опрокидывающий момент геометрической фигуры, огибающей которой является кривая р(х), равен нулю:

Эта точка именуется математическим ожиданием. Необходимо подчеркнуть, что у неких рассредотачиваний, к примеру рассредотачивания Коши, не существует МО, потому что определяющий его интеграл расползается.

При симметричной кривой р(х) в качестве центра может употребляться абсцисса моды, т.е. максимума рассредотачивания XM.

Моменты рассредотачиваний. Все моменты представляют собой некие средние значения, при этом если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, то моменты именуют исходными, а если от центра рассредотачивания, то центральными. Исходные и центральные моменты r-го порядка определяются соответственно по формулам

Нулевой исходный момент равен единице. Он употребляется для задания условия нормирования плотности рассредотачивания:

Также при помощи исходного момента нулевого порядка вводится понятие медианы рассредотачивания.

1-ый исходный момент - МО случайной величины:

Для результатов измерений оно представляет собой оценку настоящего значения измеряемой величины.

Исходные и центральные моменты случайной погрешности совпадают меж собой и с центральными моментами результатов измерений: , так как МО случайной погрешности равно нулю. Следует также отметить, что 1-ый центральный момент тождественно равен нулю.Принципиальное значение имеет 2-ой центральный момент

именуемый дисперсией и являющийся чертой рассеивания случайной величины относительного МО. Существенно почаще в качестве меры рассеивания употребляется среднее квадратическое отклонение

имеющее такую же размерность, как и МО. Для примера на (рис) показан вид обычного рассредотачивания при разных значениях СКО


Отдельные значения случайной погрешности предсказать нереально. Совокупа же случайных погрешностей какого-то измерения одной и той же величины подчиняетсяопределенным закономерностям, которые являются вероятностными. Они описываются в метрологии при помощи способов теории вероятностей и математической статистики. При всем этом физическую величину, итог измерения которой содержит случайную погрешность, и саму случайную погрешность рассматривают как случайную величину.

Математическое описание непрерывных случайных величин осуществляется обычно при помощи дифференциальных законов рассредотачивания случайной величины. Эти законы определяют связь меж вероятными значениями случайной величины и надлежащими им плотностями вероятностей.

Более всераспространенным при измерениях является обычный закон рассредотачивания. Для некой измеряемой величины X кривая рассредотачивания плотности вероятности P(x)для закона обычного рассредотачивания имеет вид, показанный на рис. 6.


Загрузка...

При всем этом плотность вероятности (либо плотность рассредотачивания) охарактеризовывает плотность, с которой распределяются значения случайной погрешности в данной точке. Плотность вероятности для закона рассредотачивания описывается уравнением:

(9)

где М[x] и σ – свойства обычного рассредотачивания.

Кривую 1 можно рассматривать как кривую рассредотачивания случайной погрешности, перенеся начало координат в точку X=M[x] (рис.7).

В данном случае плотность вероятности:

(10)

где - случайная погрешность.

Свойства M[x] и σименуют соответственно математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением. Они являются необходимыми числовыми чертами случайной величины.

Математическое ожидание является тем значение величины, вокруг которого группируются результаты отдельных наблюдений, а среднеквадратическое отклонение охарактеризовывает рассеяние результатов отдельных наблюдений относительно математического ожидания. На рисунках 6 и 7 показаны кривые закона обычного рассредотачивания (кривые Гаусса) случайной величины X и ее случайной погрешности ψ при разных значениях среднеквадратического отличия; рассеяние для кривой 3, больше, чем рассеяние для кривой 2, а рассеяние для кривой 2 – больше , чем кривой 1.

Геометрически σ определяется как расстояние от оси симметрии обычного рассредотачивания до точки А перегиба кривой рассредотачивания (Рис.6,7).

Чтоб найти возможность Pпопадания результата измерения либо случайной погрешности в некой наперед данной интервал от -yд до +yд (рис. 8), нужно отыскать площадь под кривой рассредотачивания, ограниченную вертикалями на границе интервала.

Для обычного рассредотачивания:

(11)

Решить интеграл (11) аналитически нереально. Обычно он приводится в виде таблиц, позволяющих найти его значение приближенно в толиках единицы.

Математическое ожидание и дисперсия являются более нередко используемыми моментами, так как они определяют принципиальные черты рассредотачивания: положение центра и степень разбросанности результатов относительно него. Для более подробного описания рассредотачивания употребляются моменты более больших порядков.
3-ий центральный момент

служит чертой асимметрии, либо скошенности рассредотачивания. С его внедрением вводится коэффициент асимметрии . Для обычного рассредотачивания коэффициент асимметрии равен нулю. Вид законов рассредотачивания при разных значениях коэффициента асимметрии приведен на (рис. а)


4-ый центральный момент

служит для свойства плоско- либо островершинности рассредотачивания. Эти характеристики описываются при помощи эксцесса


Значения коэффициента лежат в спектре от -2 до . Для обычного рассредотачивания он равен 0. Почаще эксцесс задается формулой


Его значения лежат в спектре от 1 до . Для обычного рассредотачивания он равен трем. Вид дифференциальной функции рассредотачивания при разных значениях эксцесса показан на (рис. б).


Для удобства нередко употребляют контрэксцесс

Значения контрэксцесса лежат в границах от 0 до 1. Для обычного закона он равен 0,577.




Возможно Вам будут интересны работы похожие на: Числовые параметры законов распределения:


Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Cпециально для Вас подготовлен образовательный документ: Числовые параметры законов распределения