Суммирование погрешностей.

Суммирование погрешностей.


Классы точности средств измерений.

Класс точности – это обобщенная метрологическая черта СИ.

Разглядим, как формируются классы точности.

Разглядим СИ имеющие только аддитивную погрешность.

Вспомним, что аддитивная погрешность не находится в зависимости от измеряемой величины.

Графически это можно представить последующим образом:

Т. е. погрешность СИ в главном находится в полосе, ограниченной прямыми параллельными оси абсцисс .

Тут - очень допустимая погрешность СИ.

Другими словами, погрешность лежит в этой полосе, но вероятны случаи, когда погрешность и выходит из этой полосы, но это событие фактически нереально.

Структурную схему такового прибора (т. е. прибора, имеющего аддитивную погрешность) можно представить последующим образом:

Тут:

x – измеряемая физическая величина (входная величина), неслучайная величина;

Y – выходная величина СИ (это может быть показание – стрелка, табло, или сигнал измерительной инфы – ток, напряжение и т. п.) с учетом помехи измерения, т. е. случайная величина;



y - выходная величина СИ без учета помехи измерения (настоящее значение), неслучайная величина;

f – аддитивная помеха, за счет которой и появляется погрешность измерения, случайная величина;

K – коэффициент передачи СИ, const.

.

Мы рассматриваем измерения в статике, т. е. когда входная величина x не меняется во времени. Потому СИ можно охарактеризовать коэффициентом К.

Для простоты:

K=const.

Помеха f является в общем случае случайной величиной (с. в.).

Как и всякую с. в. помеху f можно охарактеризовать последующими чертами:

Математическое ожидание

;

Если , это значит, что СИ имеет периодическую погрешность и её нужно исключить из результатов измерения (корректировкой самого прибора);

С.к.о.

.

Запишем уравнение, связывающее выходную величину СИ с входной:

.

Определим погрешность измерения:

;

т. е. погрешность - это с. в. Она не находится в зависимости от измеряемой величины x.

Как и неважно какая с. в. характеризуется:

;

.

Для определения полосы погрешности нужно найти .

Для этого нужно познание закона рассредотачивания с. в. (либо f).

Зная закон рассредотачивания и задаваясь доверительной вероятностью Р (Р=0,9 и больше, в главном Р=0,95) определяем квантильный множитель и дальше доверительный интервал:

это абсолютная допустимая погрешность (аддитивная).

Для таких СИ класс точности определяется через относительную приведенную погрешность:

,

где - настоящее значение выходной величины (нормирующее значение, равное конечному значению, т. е. наибольшему значению).

Значение выбирается из ряда желательных чисел:

;

где А=1; 1,5; (1,6); 2; 2,5; (3); 4; 5; 6,

1,6; 3 – допускаются, но не рекомендуются; n=1; 0; - 1; - 2; …

Класс точности обозначается для данной погрешности:

0,5.

Определим погрешность через с.к.о.:

;

т. е.

.

Тут:

- относительное с.к.о. аддитивной погрешности.

Разглядим СИ имеющее только мультипликативную погрешность.

Вспомним, что мультипликативная погрешность линейно находится в зависимости от измеряемой величины.

Графически это можно представить последующим образом.

Структурную схему такового прибора можно представить последующим образом.

Тут - случайная величина, изменяющая коэффициент передачи.

Величина имеет последующие свойства:

;

.

Запишем уравнение связи:

.

Определим погрешность измерения:

.

Случайная величина имеет последующие свойства:

;

.

Нужно найти .

Определяем квантильный множитель и дальше допустимую погрешность отличия.

.

Это абсолютная допустимая погрешность (мультипликативная).

Для таких СИ класс точности определяется через относительную погрешность:

.

Значение определяется из такого же ряда желательных чисел.

Обозначение класса точности таких СИ несколько отличается. К примеру:


Отметим особенность такового определения класса точности:

.

Т. е. не находится в зависимости от измеряемой величины, в отличие от абсолютной погрешности.


Загрузка...

Обозначим:

- относительное с.к.о. мультипликативной погрешности.

Тогда относительную погрешность можно представить в последующем виде:

.

Разглядим СИ имеющее как аддитивную, так и мультипликативную составляющие погрешности.

Структурную схему такового СИ можно представить последующим образом.

Запишем уравнение связи:

.

Определим погрешность измерения:

.

Случайная погрешность имеет последующие свойства:

.

Найдем дисперсию с. в. .

Для этого вспомним, что дисперсия суммы случайных независящих величин равна сумме дисперсий этих величин.

.

Тогда с.к.о. этой величины:

.

Определим .

Аналогично, как и ранее:

.

Построим график этой погрешности.

Как видно из графика, нелинейно находится в зависимости от x.

На практике эту зависимость аппроксимируют последующим образом.

Введем обозначения.

- погрешность начала спектра измерений (х=0):

- погрешность конца спектра измерений (x=xк=xN).

Тогда аппроксимирующую зависимость можно представить последующим образом.

.

Эта зависимость представлена на рис. 6 прямой линией.

Преобразуем эту зависимость к последующему виду.

.

Найдем относительную погрешность.

.

Введем последующие обозначения.

.

Т.е.

- приведенная погрешность СИ для начала спектра измерения.

.

Т. е.

- приведенная погрешность СИ для конца спектра измерения.

Тогда относительную погрешность можно представить в последующем виде:

.

Для таких устройств класс точности нормируется в последующем виде:

.

К примеру: .

Отсюда , , а относительная погрешность СИ запишется в виде:

.

Разглядим определенный пример на применение класса точности для оценки погрешностей измерения.

Пример.

Отчет по шкале прибора с пределами измерений 0-50 А и равномерной шкалой составил 25 А. Пренебрегая другими видами погрешностей измерения, оценить пределы допускаемой абсолютной погрешности этого отсчета при использовании разных СИ классов точности: 0,5; ; .

Решение.

Для СИ класса точности 0,5.

.

.

.

.

Для СИ класса точности

.

.

.

.

Для СИ класса точности .

.

.

.

.

С другой стороны:

.

Отсюда

.

Лекция № 15

Постановка задачки: Оценить точность измерения физической величины Х по величине Y, если каждый элемент измерительной цепи заносит погрешность в итог измерения.

Разглядим блок-схему канала измерения:

Т. е. канал измерения содержит n средств измерений (СИ).

Разглядим эту задачку на примере 2-х СИ, а результаты распространим на канал с n СИ.

Будем считать, что эти СИ имеют как аддитивную, так и мультипликативную составляющие погрешности.

Тогда их можно представить последующим образом:

Тут:

- случайные аддитивные погрешности, имеющие последующие свойства:

, , , ;

, - случайные характеристики мультипликативной погрешности, имеющие последующие свойства:

, , , .

Запишем уравнение, связывающее выходную величину измерительного канала Y с входной x.

;

.

.

Т. к. , , то последними 2-мя слагаемыми можно пренебречь ввиду их малости.

Тогда

.

Найдём погрешность измерения:

.

Где

- выходная величина измерительного канала, без учета погрешностей измерения (настоящее значение).

В уравнении для погрешности измерения 1-ое слагаемое – это суммарная мультипликативная составляющая погрешности, а 2-ое – суммарная аддитивная составляющая погрешности.

Найдем свойства с. в. .

;

.

Отсюда

.

Определим допустимую погрешность измерения .

Для этого нам следует знать закон рассредотачивания суммарной погрешности .

Почти всегда он нам неизвестен.

Тут обычно поступают последующим образом:

Если складывается довольно огромное количество случайных величин, имеющих с.к.о. 1-го порядка величины, то согласно центральной предельной аксиоме теории вероятностей – суммарный закон рассредотачивания погрешности будет близок к нормальному закону; Имея представление о законах рассредотачивания отдельных составляющих погрешности – можно сделать приближенное представление о суммарном законе рассредотачивании; Если нет никакой инфы – то обычно считают, что суммарная погрешность имеет обычное рассредотачивание.

Тогда, задаваясь доверительной вероятностью , определяют квантильный множитель .

Тогда:

.

Определим последующие величины:

- абсолютная погрешность канала сначала спектра измерения (x=0);

- абсолютная погрешность канала в конце спектра измерения (x=xк=xN).

Тогда

.

Определим приведенную погрешность для начала спектра измерения.

.

Тут

- относительное с.к.о. аддитивной составляющей погрешности 1-го СИ ;

- относительное с.к.о. аддитивной составляющей погрешности 2-го СИ.

Введем последующее обозначение:

- суммарное относительное с.к.о. аддитивной составляющей погрешности канала измерения.

Тогда

.

Для

.

Определим приведенную погрешность для конца спектра измерения:

Тут

- относительное с.к.о. мультипликативной составляющей погрешности 1-го СИ;

- относительное с.к.о. мультипликативной составляющей погрешности 2-го СИ.

Введем обозначения:

- суммарное относительное с.к.о. мультипликативной составляющей погрешности канала измерения;

- суммарное относительное с.к.о. погрешности измерительного канала.

Тогда приведенную относительную погрешность канала измерения для конца спектра можно представить в последующем виде:

.

Измерительный канал нормируется последующим образом:

.

А относительная погрешность измерительного канала представляется последующим образом:

.

Т.е. аналогично, как представляется относительная погрешность для СИ, имеющего аддитивную и мультипликативную составляющие погрешности.

Разумеется, что при записи относительной погрешности в таком виде употребляется аппроксимация полосы погрешности канала измерения, рассмотренная ранее.

Обобщим приобретенный итог на n – устройств.

Тогда

;

;

.

А относительная погрешность измерительного канала определяется аналогично.

Рассмотренная задачка была несколько облегчена, так как мы не учитывали последующие происшествия.

Мы подразумевали, что все случайные величины, т. е. погрешности (помехи), не коррелированны меж собой.

Учтем это событие, при расчете суммарной погрешности, последующим образом:

Все погрешности, действующие на итог измерения СИ, делятся на мультипликативные и аддитивные; Все погрешности представляются своими с.к.о.; Для коррелированных погрешностей суммирование с.к.о. проводится алгебраически:

.

Тут - коэффициент корреляции. Символ «+» либо « - » в этом выражении находится в зависимости от знака коэффициента корреляции.

В итоге все погрешности (оставшиеся и просуммированные алгебраически) будут не коррелированны меж собой, и они складываются геометрически:

.

Все другие вычисления, по определению суммарной погрешности канала измерения остаются такими же, что подверглись рассмотрению выше.

Разглядим пример на определение суммарной погрешности измерительного канала.




Возможно Вам будут интересны работы похожие на: Суммирование погрешностей.:


Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Cпециально для Вас подготовлен образовательный документ: Суммирование погрешностей.