Из (2.6 ) следует, что для выполнения (2.7.) необходимо, чтобы

Из (2.6 ) следует, что для выполнения (2.7.) нужно, чтоб


Рис. 2.3. Равномерное (равновероятное) рассредотачивание

Рис. 2.1. Интегральный и дифференциальный законы рассредотачивания

Одно из нарушений обычного закона рассредотачивания погрешностей при соблюдении аксиом состоит в возникновении плосковершинности и островершинности, как показано на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Островершинное рассредотачивание

В пределе для плосковершинного рассредотачивания, когда уже теорема не соблюдается, оно преобразуется в равномерное.

Нарушение теоремы рассредотачивания может привести к тому, что малые погрешности встречаются пореже, чем огромные. В данном случае середина кривой рассредотачивания плотности вероятностей оказывается прогнутой вниз и рассредотачивание становится "двугорбым" - так именуемым двухмодальным.

Рис. 2.4. Двухмодальное рассредотачивание

Модой дискретной случайной величины именуют ее более возможное значение, а для непрерывной случайной величины модой будет то значение, при котором плотность вероятности добивается максимума. В пределе такое двухмодальное рассредотачивание может перевоплотиться в рассредотачивание, когда единственно наблюдаемыми погрешностями будут только погрешности ±XmaX (см. рис. 2.4). К примеру, погрешность от свободного хода в кинетической цепи, погрешность от гистерезиса имеют вид двухзначной дискретной погрешности.



5.3.1. Числовые свойства законов рассредотачивания

Статистическое описание случайной величины полным указанием законов рассредотачивания очень громоздка. На практике довольно указать только отдельные числовые свойства закона рассредотачивания случайной величины. Для оценки того либо другого характеристики законов рассредотачивания случайной величины в теории вероятностей употребляют числовые свойства, именуемые моментами.

Сначала нас интересует положение случайной величины на числовой оси, т.е. ее периодическая составляющая - ее среднее значение, определяющее положение области, в какой группируется значения случайной величины.

Такое среднее значение случайной величины именуется ее первым моментом либо ее математическим ожиданием.

, (2.4)

т.е. определяется как сумма произведений всех вероятных значений дискретной случайной величины Х на возможность этих значений Р.

Для непрерывной случайной величины выражение для математического ожидания можно записать

, (2.5)

где -P(X) - плотность рассредотачивания вероятностей случайной величины Х.

В отличие от среднего арифметического значения, которое само является случайной величиной, т.к. находится в зависимости от испытаний, математическое ожидание является числом, которое связано только с законом рассредотачивания случайной величины.

Исходный момент s-го порядка дискретной случайной величины запишется:

Для непрерывной случайной величины:

По другому, математическое ожидание - это исходный момент первого порядка. Случайная погрешность (случайное отклонение) определяется зависимостью:

Центральным моментом S-го порядка случайной величины именуется математическое ожидание S степени соответственной центрированной величины.

Из определения следует, что m1 = 0, т.е. математическое ожидание первой степени центрированной случайной величины всегда = 0.

2-ой центральный момент именуется дисперсией случайной величины и характеризуется рассеяние значений случайной величины вокруг математического ожидания.

m2[X] = D[X] = M[(X - M[X])2],

Потому что дисперсия имеет разность квадрата случайной величины, то она выражает вроде бы мощность ее рассеяния. Для приятной свойства самой величины рассеяния пользуются среднеквадратическим отклонением случайной величины Х, которое равно и имеет размерность самой случайной величины.

3-ий центральный момент охарактеризовывает асимметрию, либо скошенность (рис. 2.5.) рассредотачивания (медиана рассредотачивания). Для всех симметричных относительно математического ожидания законов рассредотачивания этот момент равен нулю.

Рис. 2.5. Иллюстрация «скошенности» закона рассредотачивания

Медианой непрерывной случайной величины именуется такое значение Х, что в этой точке функция рассредотачивания F(X) случайной величины Х равна ½.


Загрузка...

Для относительной свойства асимметрии обычно пользуются коэффициентом асимметрии: S = m3/s3

4-ый центральный момент служит для описания островершинности либо плосковершинности рассредотачивания (мода). Мода - для дискретной случайной величины - более возможное значение случайной величины. Мода - для непрерывной - точка максимума плотности рассредотачивания ее вероятностей.

Эти характеристики описываются при помощи относительного значения 4-ого момента, равного m4/s4 , либо так именуемого эксцесса, который находится как:

Ex = m4/s4 -3

Для обычного закона рассредотачивания величина m4/s4 =3, Ex = 0, другие рассредотачивания сравниваются с нормальными, потому вычитается тройка. Для обычного закона Ех = 0. Кривые более островершинные по сопоставлению с обычным законом, владеют положительным эксцессом, а плосковершинные кривые - отрицательным эксцессом. Точкой перегиба кривой имеют абсциссы

, .

Асимметрия, вычисленная по формуле S = m3/s3 = 0. Этот итог охарактеризовывает симметричную форму кривой относительно среднего значения Хо, совпадающее с модой Мо и Мс. Эксцесс отысканный по формуле Ex= m4/s4-3 = 0.

Функция обычного рассредотачивания определяется интегралом

Возможность нахождения случайной величины Х меж X1 и X2 определяется разностью соответственных значений функции рассредотачивания

Вер.[X1 < X < X2 ] = F(X2) - F (X1) = .

Графически эта возможность представлена площадью под кривой, изображающей плотность вероятности меж ординатами, надлежащими абсциссам X1 и X2.

Если X1 = - ¥ , а X2 = + ¥, то возможность, определенная по этой формуле обратится в 1 и выразит всю площадь под кривой.

Для облегчения использования функцией обычного рассредотачивания используют нормированную функцию Лапласа, именуемую также интегралом вероятностей

.

Тогда формула запишется

Вер [a1 < X < a2] = Ф (t2) - Ф (t1) =

Точность измерения величины x будут определять границы , снутри которых может находится действительное число Х, т.е.

Xo - a < X < Xo + a,

Где Xo - итог измерения, a - границы интервала

Возможность того, что действительное значение измеряемой величины Х лежит снутри доверительного интервала (Xo - a, Xo + a) именуется надежностью b при данной точности. При уменьшении доверительного интервала до величины a < 2s, надежность результата резко падает. Величину a = 3s, имеющую надежность 99,73%, (доверительная возможность 0,997) именуют предельной погрешностью.

Оценка результатов измерений. Итог всякого измерения содержит внутри себя случайную погрешность. Потому при всех четких измерениях нужно не только лишь указывать приобретенный итог, да и делать оценку свойства данного измерения, степени достоверности результата либо, как молвят, указывать точность измерения.

При оценке точности нужно указать границы интервала (доверительного интервала) в который с определенной вероятностью, (доверительной вероятностью) находится итог измерения.

5.3.2. Точечные оценки числовых черт результатов измерений

Основными точечными чертами погрешностей измерений являются математическое ожидание и дисперсия (либо среднее квадратическое отклонение).

Математическое ожидание погрешности измерений М(Х) есть неслучайная величина, относительно которой рассеиваются другие значения погрешностей при повторных измерениях. Как числовая черта погрешности М (Х) указывает на смещенность результатов измерения относительно настоящего значения измеряемой величины.

+ ¥

М (Х) = ò х j (х) d (х),

- ¥

где j (х) - плотность рассредотачивания вероятности погрешности х.

Дисперсия погрешности D (Х) охарактеризовывает степень рассеивания (разброса) отдельных значений погрешности относительно математического ожидания.

+ ¥

D (Х) = ò [х - М (Х)]2 j (х) d (х).

- ¥

Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс, тем поточнее выполнены измерения. Как следует, дисперсия может служить чертой точности проведенных измерений. Но дисперсия выражается в единицах погрешности в квадрате. Потому в качестве числовой свойства точности измерений употребляют среднее квадратическое отклонение

s (Х) = o D (Х).

Оценку параметра назовем точечной, если она выражается одним числом. Неважно какая точечная оценка, вычисленная на основании опытнейших данных, является их функцией и потому сама должна представлять собой случайную величину с рассредотачиванием, зависящим от рассредотачивания начальной случайной величины, от самого оцениваемого параметра и от числа опытов n.

К точечным оценкам предъявляется ряд требований, определяющих их пригодность для описания самих характеристик.

1. Оценка именуется безбедной, если при увеличении числа наблюдений она приближается (сходится по вероятности) к значению оцениваемого параметра.

2. Оценка именуется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру.

3. Оценка именуется действенной, если ее дисперсия меньше дисперсии хоть какой другой оценки данного параметра.

На практике не всегда удается удовлетворить сразу все эти требования, но выбору оценки должен предшествовать ее критичный анализ со всех вышеперечисленных точек зрения.

Существует несколько способов определения оценок. Более всераспространен способ наибольшего правдоподобия, на теоретическом уровне обоснованный математиком Р.Фишером. Мысль способа заключается в последующем. Вся получаемая в итоге неоднократных наблюдений информация об настоящем значении измеряемой величины и рассеивании результатов сосредоточена в ряде наблюдений Х1, Х2, . . . , Хn, где n - число наблюдений. Их можно рассматривать как n независящих случайных величин с одной и той же дифференциальной функцией рассредотачивания rх (х; Q; sх). Возможность Рi получения в опыте некого результата Хi, лежащего в интервале хi ± Dх, где Dх - некая малая величина, равная соответственному элементу вероятности Рi = rх (хi; Q; sх) Dх.

Независимость результатов наблюдений позволяет отыскать априорную возможность возникновения сразу всех экспериментальных данных, т. е. всего ряда наблюдений Х1, Х2, . . . , Хn как произведение этих вероятностей

n n

Р (Х1, Х2, . . . , Хn) = Õ Рi = Dхп Õ rх (хi; Q; sх).

i = 1 i = 1

Если рассматривать Q и sх как неведомые характеристики рассредотачивания, то, подставляя разные значения Q и sх в эту формулу, мы будем получать разные значения вероятности Р (Х1, Х2, . . . , Хn) при каждом фиксированном ряде наблюдений Х1, Х2, . . . , Хn. При неких значениях Q = Q (Х1, Х2, . . . , Хn) и sх = sх (Х1, Х2, . . . , Хn) возможность Р (Х1, Х2, . . , Хn) получения экспериментальных данных добивается большего значения. В согласовании с способом наибольшего правдоподобия конкретно эти значения и принимаются в качестве точечных оценок настоящего значения и среднего квадратического отличия результатов наблюдений.

Таким макаром, способ наибольшего правдоподобия сводится к отысканию таких оценок Q и sх, при которых функция правдоподобия

n

g (Х1, Х2, . . . , Хn; Q; sх) = Õ rх (хi; Q; sх)

i = 1

добивается большего значения. Неизменный сомножитель Dхп не оказывает воздействия на решение и потому может быть отброшен. Приобретенные оценки Q и sх настоящего значения и среднего квадратического отличия именуются оценками наибольшего правдоподобия.

Вместе с способом наибольшего правдоподобия при определении точечных оценок обширно употребляется способ меньших квадратов. В согласовании с этим способом посреди некого класса оценок выбирают ту, которая обладает меньшей дисперсией, т. е. более эффективную оценку.

5.3.3. Интервальные оценки характеристик рассредотачивания

Смысл оценки характеристик при помощи интервалов заключается в нахождении интервала, за границы которого погрешность не выйдет с некой вероятностью. Этот интервал именуют доверительным интервалом, характеризующую его возможность - доверительной вероятностью, а границы этого интервала доверительными значениями погрешности.

В практике измерений используют разные значения доверительной вероятности, к примеру: 0,90; 0,95; 0,98; 0,99; 0,9973 и 0,999. Доверительный интервал и доверительную возможность выбирают зависимо от определенных критерий измерений. Так, к примеру, при обычном законе рассредотачивания случайных погрешностей со средним квадратическим отклонением s (Х) часть пользуются доверительным интервалом от +3 s (Х) до -3 s (Х), для которого доверительная возможность равна 0,9973. Такая доверительная возможность значит, что в среднем из 370 случайных погрешностей только одна погрешность по абсолютному значению будет больше 3 s (Х). Потому что на практике число отдельных измерений изредка превосходит несколько 10-ов, возникновение даже одной случайной погрешности, большей, чем 3 s (Х), маловероятное событие, наличие же 2-ух схожих погрешностей практически нереально. Это позволяет с достаточным основанием утверждать, что все вероятные случайные погрешности измерения, распределенные по нормальному закону, фактически не превосходят по абсолютному значению 3 s (Х) (правило «трех сигм»).

В общем случае доверительный интервал может быть установлен, если известен вид закона рассредотачивания погрешности и главные числовые свойства этого закона.

5.3.4. Обнаружение грубых погрешностей

Для устранения грубых погрешностей лучше еще перед измерениями найти значение разыскиваемой величины приближенно, с тем чтоб в предстоящем можно было сконцентрировать внимание только на уточнении подготовительных данных. Если оператор в процессе измерений обнаруживает, что итог 1-го из наблюдений резко отличается от других, и находит предпосылки этого, то он, естественно, вправе откинуть этот итог и провести повторные измерения. Но непродуманное отбрасывание резко отличающихся от других результатов может привести к существенному искажению черт рассеивания ряда измерений, потому повторные измерения лучше проводить не взамен непонятным, а в дополнение к ним.

Более нередко для обнаружения промаха употребляют так именуемый аспект Райта. Согласно этому аспекту, если случайное отклонение какого-нибудь измерения от среденго арифметического значения превосходит 3 s (Х), другими словами основание считать, что данное измерение содержит промах. Аспект Райта в таком виде целенаправлено использовать при не очень большенном числе измерений (s f n f 20). Если же число измерений 20 < n f 100, то рекомендуется заместо значения 3 s (Х) использовать значение 4 s (Х).

Более обоснованная, хотя и поболее массивная процедура исключения грубых погрешностей базируется на одном из разделов математической статистики - статистической проверке гипотез.

Проверяемая догадка состоит в утверждении, что итог наблюдения Хi не содержит грубой погрешности, т. е. является одним из значений случайной величины Х с законом рассредотачивания Fх (х), статистические оценки характеристик которого за ранее определены. Непонятным может быть сначала только больший Х max либо меньший Х min из результатов наблюдений. Потому для проверки догадки следует пользоваться рассредотачиваниями величин

n = (Х max - Х) / Sx либо n = (Х - Х min) / Sx.

Функции их рассредотачивания определяются способами теории вероятностей. Они совпадают меж собой и для обычного рассредотачивания результатов наблюдений протабулированы и представлены в таблицах. По данным таблиц, при данной доверительной вероятности a либо уровне значимости q = 1 - a можно для чисел измерения n = 3 - 25 отыскать те самые большие значения na, которые случайная величина n может еще принять по чисто случайным причинам.

Если вычисленное по опытным данным значение n окажется меньше na, то догадка принимается; в неприятном случае ее следует отторгнуть как противоречащую данным наблюдений. Тогда итог Х max либо соответственно Х min приходится рассматривать как содержащий грубую погрешность и не принимать его во внимание при предстоящей обработке результатов наблюдений.

5.3.5. Математическая обработка результатов прямых измерений

Представим, что настоящее значение измеряемой величины равно а и выполнено n подобных измерений, результаты которых равны х1, х2,..., хn. Любой из результатов хi, подлежащих совместной обработке для получения результата измерения, именуют

результатом наблюдения. Результатом измерения является оценка а значения измеряемой величины, вычисленная на основании всей совокупы результатов наблюдений х1, х2,..., хn. Разность Di = хi - а есть погрешность i-го наблюдения. Относительно этой погрешности создадим последующие допущения:

- погрешность Di является случайной величиной с обычным законом рассредотачивания;

- математическое ожидание погрешности М [ Di ] = 0, т.е. отсутствует периодическая погрешность;

- погрешность Di имеет дисперсию s2, схожую для всех измерений, т.е. измерения равноточные;

- погрешности отдельных наблюдений независимы.

Допущение о нормальности закона рассредотачивания погрешности основано на том, что случайная погрешность обычно вызывается целым рядом разных обстоятельств, а как следует, какие бы законы рассредотачивания ни имели отдельные ее составляющие, при схожем порядке их малости закон рассредотачивания результирующей погрешности будет близок к нормальному.

Тогда плотность рассредотачивания хоть какого результата хi запишется в виде

f = ( хi, a ) = e - (xi - a )^2 / 2 s^2 / o 2 p s.

Потому что результаты отдельных наблюдений независимы, то плотность рассредотачивания системы случайных величин х1, х2,..., хn

n

f ( х1, х2,..., хn, а ) = Õf ( хi, a ).

i = 1

Плотность рассредотачивания системы случайных величин и представляет собой функцию правдоподобия, которую обозначим

n n ù

L = ( х1, х2,..., хn, а ) = Õf ( хi, a ) = ( 2p ) -n/2 s-n exp ê- (1/ 2s2 ) å ( хi - a )2 ê. (2.6)

i = 1 e i = 1 û

Использовав способ наибольшего правдоподобия, найдем оценку а таким макаром, чтоб при а = а достигалось

L ( х1, х2,..., хn, а ) = max. (2.7)

n

å ( хi - a )2 = min. (2.8 )

i = 1

Условие (2.8) является формулировкой аспекта меньших квадратов. Отсюда следует, что при обычном законе рассредотачивания случайной величины оценки по способам наибольшего правдоподобия и меньших квадратов совпадают. Обозначим

тогда оценку а найдем из условия

n

å ( хi - a )2 =

i = 1

^ n

¶Q/¶ а = - 2 å ( хi - a ) = 0. (2.9)

i = 1




Возможно Вам будут интересны работы похожие на: Из (2.6 ) следует, что для выполнения (2.7.) необходимо, чтобы:


Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Cпециально для Вас подготовлен образовательный документ: Из (2.6 ) следует, что для выполнения (2.7.) необходимо, чтобы