Отсюда получим

Отсюда получим


n

а = ( 1/ n ) å хi = х, (2.10)

i = 1

т.е. лучшей оценкой является среднее значение х результатов наблюдений.

Из (2.10) следует, что оценка х является случайной величиной с обычным законом рассредотачивания, при этом

М [ х ] = а, s2 [ х ] = s2 / n. (2.11)

Таким макаром, оценка х имеет более высшую точность, потому что ее дисперсия в n раз меньше дисперсии отдельных измерений. Неопределенность результатов измерений характеризуется значением среднего квадратического отличия погрешности, потому из (2.11) следует, что при усреднении результатов n наблюдений случайную погрешность уменьшают в o n раз.

Необходимо подчеркнуть, что эффект уменьшения случайной погрешности при усреднении результатов n наблюдений понижается при наличии корреляции меж этими плодами. Дисперсия оценки х для коррелированных результатов наблюдений

n

s2 [ х ] = ( s2 / n) [1 + ( 2/n ) å rij ],

i < j

где rij - коэффициент корреляции меж плодами i -го и j-го наблюдений.

Приобретенная оценка а = х является безбедной, несмещенной и действенной.



Для оценки неопределенности величины а нужно, используя те же экспериментальные данные, оценить значение дисперсии (либо среднего квадратического отличия) погрешности измерений. Для этого воспользуемся функцией правдоподобия ( 2 ), представив ее в виде

n n ù

L = ( х1, х2,..., хn, а ,s2 ) = Õf ( хi, a ) = ( 2p )-n/2 (s2 )-n/2 exp ê- (1/ 2s2 ) å ( хi - a )2 ê. (2.12)

i = 1 e i = 1 û

На базе способа наибольшего правдоподобия найдем оценку s2 из условия

L ( х1, х2,..., хn, а, s2 ) = max. (2.13)

Для упрощения вычислений прологарфимируем (2.12)

n

L = ( х1, х2,..., хn, а ,s2 ) = - ( n / 2 ) ln ( 2p ) - -( n / 2 ) ln (s2 ) - (1/ 2s2 ) å ( хi - a )2. (2.14)

i = 1

Потому что логарифм является однотонной функцией, то значения s2, при которых функции ( 7 ) и ( 9 ) добиваются экстремума, совпадают. Потому оценку дисперсии найдем из условия

¶ ln L ( х1, х2,..., хn, а, s2 ) /¶ s2 = 0. (2.15)

Продифференцировав (2.15) по s2 , получим

n

- (1 / n ) ( 1 / s2) + (1/ 2s4) å ( хi - a )2 = 0. (2.16.)

i = 1

Отсюда найдем оценку, которую обозначим s2

n

s2 = ( 1 / n ) å ( хi - a )2. (2.17)

i = 1

Потому что настоящее значение а непонятно, то воспользуемся его оценкой х, а подобающую оценку дисперсии обозначим S2 :

n

S2 = ( 1 / n ) å ( хi - х )2. (2.18)

i = 1

Разглядим вопрос о смещенности приобретенной оценки S2.

За ранее преобразуем (2.18):

n n n

S2 = ( 1 / n ) å ( хi2 - 2 х ( 1 / n ) å хi + ( х )2 = ( 1 / n ) å хi2 - ( х )2 . (2.19)

i = 1 i = 1 i = 1

Математическое ожидание оценки S2

n ù n

М [ S2 ] = М ê( 1 / n ) å хi2 ê - М [( х )2 ] = ( 1 / n ) å М [ хi2 ] - М [( х )2 ] =

e i = 1 û i = 1

n

= ( 1 / n ) å ( s2 + а2 ) - ( s / n + а2) = s2 ( 1 - 1 / n ) = s2 [( n - 1 ) / n]. (2.20)

i = 1

Таким макаром, оценка S2 является смещенной оценкой дисперсии s2, но

lim М [ S2 ] = s2 .

n®¥

Такая оценка именуется асимптотически несмещенной.

Из (2.20) следует, что для ликвидации смещенности оценки довольно ввести поправочный множитель n /( n - 1 ). Полученную несмещенную оценку обозначим s2:

^ n

s2 = n /( n - 1 ) S2 = n /( n - 1 ) å ( хi - х )2. (2.20)

i = 1

Использовав (2.20), можно записать другую формулу для расчета оценки, равносильную ей но более комфортную для вычислений:

n ù

s2 = n /( n - 1 ) ê1 / n å хi2 - ( х2 ) ê. (2.21)

e i = 1 û

Приобретенные выше оценки значений измеряемой величины и дисперсии погрешности являются точечными оценками. Разглядим оценивание этих величин при помощи доверительных интервалов.

Определим доверительный интервал для настоящего значения а измеряемой величины.


Загрузка...

Границы этого интервала зависят не только лишь от оценки а = х измеряемой величины, да и от оценки s среднего квадратического отличия погрешности. Потому для построения доверительного интервала нужно пользоваться рассредотачиванием случайной величины

tn -1 = ( х - а ) / S o n - 1 = ( х - а ) / s o n. (2.22)

При обычном рассредотачивании погрешности величина tn -1 распределена по закону Стьюдента с n - 1 степенями свободы ( t-распределение). Рассредотачивание Стьюдента находится в зависимости от от числа опытов n и при n®¥ асимптотически приближается к нормальному.

Обычно в таблицах приводятся значения ta для величины t, имеющей расределение Стьюдента с k = n - 1 степенями свободы, определяемые из условия

¥

ò f n - 1 ( t ) dt = a, (2.23)

ta

где f n - 1 ( t ) - плотность t- рассредотачивания. Полагая a = ( ! - Р ) / 2 ( Р - доверительная возможность ) и зная k = n - 1, по таблицам находят границу ta.

Подставив в (2.23) граничные значения ± ta, получим границы доверительного интервала для измеряемой величины:

х - ta S / o n -1 < а < х + ta S / o n -1

либо

х - ta s / o n < а < х + ta s / o n .

Построим доверительный интервал для дисперсии s2 случайной погрешности. Подтверждено, что при обычном законе рассредотачивания случайной погрешности величина

u = n S2 / s2 = ( n - 1 ) s2 / s2

распределена по закону C2n-1 с n - 1 степенями свободы. В таблицах приводятся значения C2a для величины u, имеющей C2-распределение с k = n - 1 степенями свободы, определяемые из условия

¥

ò f n - 1 ( u ) du = a, (2.24)

C2a

где f n - 1 ( u ) - плотность C2-распределения. Потому что это рассредотачивание несимметрично, то по таблице нужно отыскать значение верхней C2a1 и нижней C2a2 границ интервала, надлежащие вероятностям a1 = ( 1 - Р ) / 2 и a2 = 1 - ( 1 - Р ) / 2, где Р - доверительная возможность.

Подставив в (2.24) заместо u отысканные граничные значения C2a1 и C2a2 , получим границы доверительного интервала для дисперсии:

n S2 / C2a1 < s2 < n S2 / C2a2

либо

( n - 1 ) s2 / C2a1 < s2 < ( n - 1 ) s2 / C2a2.




Возможно Вам будут интересны работы похожие на: Отсюда получим:


Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Cпециально для Вас подготовлен образовательный документ: Отсюда получим