Закон суммирования погрешностей

Закон суммирования погрешностей


Косвенные измерения физических величин

В итоге косвенных измерений определяется значение физической величины, функционально связанной с другими физическими величинами, значения которых равны а1, а2,..., аm:

z = F ( а1, а2,..., аm ).

Пусть любая из величин аj ( j = 1, 2,..., m ) измерена с погрешностью Dj. Нужно оценить значение погрешности Dz результата косвенного измерения.

Рассматривая z как функцию m переменных аj, запишем ее полный дифференциал::

dz = ( ¶F/¶a1)da1 + ( ¶F/¶a2 )¶a2 + ... + ( ¶F/¶am ) dam,

либо

m

dz = å ( ¶F/¶aj ) daj.

j = 1

Положив, что погрешности измерений довольно малы, заменим дифференциалы надлежащими приращениями:

m

dz = å ( ¶F/¶aj ) Dj. (6.1)

j = 1

Каждое слагаемое вида ¶F/¶aj) Dj представляет собой личную погрешность результата косвенного измерения, вызванную погрешностью Dj определения величины aj. Личные производные ¶F / ¶aj носят заглавие коэффициентов воздействия соответственных погрешностей.



Разглядим оценивание случайной погрешности результатов косвенных измерений. Пусть величины aj измерены со случайными погрешностями Dj, имеющими нулевые математические ожидания М [ Dj ] = 0 и дисперсии s2j. Использовав формулу запишем выражения для математического ожидания М[Dz ] и дисперсии s2 [ Dz ] погрешности Dz:

m

М [ Dz ] = å ( ¶F/¶aj ) М [ Dj ] = 0;

j = 1

m m ¶F ¶F

s2 [ Dz ] = å ( ¶F/¶aj )2 s2j + 2 å rkl ½------ ------½ sk sl,

j = 1 k < 1 ¶ak ¶al

где rkl - коэффициент корреляции погрешностей D k и D l.

Если погрешности Dj некоррелированы, то

m

s2 [ Dz ] = å ( ¶F/¶aj )2 s2j (6.2)

j = 1

Таким макаром, для оценки результата z косвенного измерения естественно применить формулу

z = F ( а1, а2,..., а m ),

а для оценки периодических и случайных погрешностей соответственно (6.1) и (6.2).

Заметим, что в общем случае при нелинейной функции коэффициенты воздействия ¶F/¶aj, присутствующие в этих формулах, в свою очередь являются функциями значений величин aj. Коэффициенты воздействия обычно оцениваются методом подстановки в выражения личных производных оценок aj. Как следует, заместо самих коэффициентов воздействия получают только их оценки. Не считая того, время от времени коэффициенты воздействия определяют экспериментально. В том и другом случае они инсталлируются с некой погрешностью, что является еще одним источником погрешности при обработке результатов косвенных измерений.

При измерениях может быть несколько источников как периодических, так и случайных погрешностей. Потому фактически принципиальным является вопрос о правилах нахождения суммарной погрешности измерения по известным значениям погрешностей составляющих ее частей. При суммировании составляющих неисключенной периодической погрешности их определенные реализации можно рассматривать как реализации случайной величины. Если известны границы qi составляющих неисключенной периодической погрешности, а рассредотачивание этих составляющих в границах границ умеренно, то граница неисключенной периодической погрешности результата измерения рассчитывается по формуле

m

q = k o S qi2 ,

i = 1

где k - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью. При доверительной вероятности 0,95 он принимается равным 1,1 (ГОСТ 8.207-76).

При суммировании случайных погрешностей нужно учесть их корреляционные связи. Суммарная средняя квадратическая погрешность при 2-ух составляющих может быть вычислена по формуле

σS = oσ21 + σ22 + 2 r σ1 σ2 ,

где σ1 и σ2 - средние квадратические погрешности отдельных составляющих;

r - коэффициент корреляции.

Так как на практике тяжело получить удовлетворительную оценку коэффициента r, приходится ограничиваться последним вариантами, т. е. считать, что или r = 0, или r = ± 1. Тогда приведенная выше формула воспримет вид

σS = oσ21 + σ22 , если r = 0


Загрузка...

либо

σS = | σ1 ± σ2 | , если r = ± 1.

Таким макаром, при отсутствии корреляционной связи средние квадратические погрешности складываются геометрически, а в случае жесткой корреляционной зависимости - алгебраически. Этот вывод справедлив и для варианта нескольких источников погрешностей.

Правила нахождения границы погрешности результата измерения при одновременном наличии как неисключенных периодических, так и случайных погрешностей также регламентируются ГОСТ 8.207-76 и заключаются в последующем. Если q / σS < 0,8, то неисключенными периодическими погрешностями по сопоставлению со случайными третируют и принимают, что граница погрешности результата

DS = D = | t (n) |Рд σS,

где | t (n) |Рд - коэффициент Стьюдента, определяемый по таблицам. Если q / σS > 8, то, напротив, третируют случайной погрешностью по сопоставлению с периодической и считают, что граница погрешности результата DS = q.

В случае, если эти неравенства не производятся, следует отыскать композицию рассредотачивания случайных и не исключенных периодических погрешностей, рассматриваемых как случайные величины, вычислить значение среднего квадратического отличия и потом границы суммарной погрешности результата измерения с помощью приведенных в ГОСТ 8.207-76 эмпирических формул.




Возможно Вам будут интересны работы похожие на: Закон суммирования погрешностей:


Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Cпециально для Вас подготовлен образовательный документ: Закон суммирования погрешностей