Правило трёх сигм

Правило трёх сигм


При рассмотрении обычного закона рассредотачивания выделяется принципиальный личный случай, узнаваемый обычно 3-х сигм.

Запишем возможность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше данной величины D:

Если принять D = 3s, то получаем с внедрением таблиц значений функции Лапласа:

Т.е. возможность того, что случайная величина отклонится от собственного математического ожидание на величину, огромную чем утроенное среднее квадратичное отклонение, фактически равна нулю.

Это правило именуется правилом 3-х сигм.

Не практике считается, что если для какой – или случайной величины производится правило 3-х сигм, то эта случайная величина имеет обычное рассредотачивание.

Пример. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожидание а = 65 т и средним квадратичным отклонением s = 0,9 т. Локомотив может везти состав массой менее 6600 т, в неприятном случае нужно прицеплять 2-ой локомотив. Отыскать возможность того, что 2-ой локомотив не будет нужно.



2-ой локомотив не будет нужно, если отклонение массы состава от ожидаемого (100-65 = 6500) не превосходит 6600 – 6500 = 100 т.

Т.к. масса каждого вагона имеет обычное рассредотачивание, то и масса всего состава тоже будет распределена нормально.

Получаем:

Пример. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами – а =2 – математическое ожидание и s = 1 – среднее квадратическое отклонение. Требуется написать плотность вероятности и выстроить ее график, отыскать возможность того, Х воспримет значение из интервала (1; 3), отыскать возможность того, что Х отклонится (по модулю) от математического ожидания менее чем на 2.

Плотность рассредотачивания имеет вид:

Построим график:

Найдем возможность попадания случайной величины в интервал (1; 3).

Найдем возможность отклонение случайной величины от математического ожидания на величину, не огромную чем 2.

Тот же итог может быть получен с внедрением нормированной функции Лапласа.

2.11 Центральная предельная аксиома Ляпунова

Аксиома. Если случайная величина Х представляет собой сумму очень огромного числа взаимно независящих случайных величин, воздействие каждой из которых на всю сумму ничтожно не достаточно, то Х имеет рассредотачивание, близкое к нормальному.

На практике для большинства случайных величин производятся условия аксиомы Ляпунова.

3 Система случайных величин Рассмотренные выше случайные величины были одномерными, т.е. определялись одним числом, но, есть также случайные величины, которые определяются 2-мя, 3-мя и т.д. числами. Такие случайные величины именуются двумерными, трехмерными и т.д. Зависимо от типа, входящих в систему случайных величин, системы могут быть дискретными, непрерывными либо смешанными, если в систему входят разные типы случайных величин. 3.1 Система 2-ух случайных величин Более тщательно разглядим системы 2-ух случайных величин. Определение. Законом рассредотачивания системы случайных величин именуется соотношение, устанавливающее связь меж областями вероятных значений системы случайных величин и вероятностями возникновения системы в этих областях. Определение. Функцией рассредотачивания системы 2-ух случайных величин именуется функция 2-ух аргументов F(x, y), равная вероятности совместного выполнения 2-ух неравенств X

3.2 Плотность рассредотачивания системы 2-ух случайных величин


Загрузка...

Определение. Плотностью совместного рассредотачивания вероятностей двумерной случайной величины (X, Y) именуется 2-ая смешанная личная производная от функции рассредотачивания.

Если известна плотность рассредотачивания, то функция рассредотачивания может быть просто найдена по формуле:

Двумерная плотность рассредотачивания неотрицательна и двойной интеграл с нескончаемыми пределами от двумерной плотности равен единице.

По известной плотности совместного рассредотачивания можно отыскать плотности рассредотачивания каждой из составляющих двумерной случайной величины.

3.3 Условные законы рассредотачивания

Как было показано выше, зная кооперативный закон рассредотачивания можно просто отыскать законы рассредотачивания каждой случайной величины, входящей в систему.

Но, на практике почаще стоит оборотная задачка – по известным законам рассредотачивания случайных величин отыскать их кооперативный закон рассредотачивания.

В общем случае эта задачка является неразрешимой, т.к. закон рассредотачивания случайной величины ничего не гласит о связи этой величины с другими случайными величинами.

Не считая того, если случайные величины зависимы меж собой, то закон рассредотачивания не может быть выражен через законы рассредотачивания составляющих, т.к. должен устанавливать связь меж составляющими.

Все это приводит к необходимости рассмотрения условных законов рассредотачивания.

Определение. Рассредотачивание одной случайной величины, входящей в систему, отысканное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение, именуется условным законом рассредотачивания.

Условный закон рассредотачивания можно задавать как функцией рассредотачивания так и плотностью рассредотачивания.

Условная плотность рассредотачивания рассчитывается по формулам:

Условная плотность рассредотачивания обладает всеми качествами плотности рассредотачивания одной случайной величины.

3.4 Условное математическое ожидание

Определение. Условным математическим ожиданиемдискретной случайной величины Y при X = x (х – определенное вероятное значение Х) именуется произведение всех вероятных значений Y на их условные вероятности.

Для непрерывных случайных величин:

,

где f(y/x) – условная плотность случайной величины Y при X=x.

Условное математическое ожидание M(Y/x)=f(x) является функцией от х и именуется функцией регрессии Х на Y.

Пример. Отыскать условное математическое ожидание составляющей Y при

X= x1=1 для дискретной двумерной случайной величины, данной таблицей:

Y X
x1=1 x2=3 x3=4 x4=8
y1=3 0,15 0,06 0,25 0,04
y2=6 0,30 0,10 0,03 0,07

Аналогично определяются условная дисперсия и условные моменты системы случайных величин

3.5 Зависимые и независящие случайные величины

Случайные величины именуются независящими, если закон рассредотачивания какой-то из них не находится в зависимости от того какое значение воспринимает другая случайная величина.

Понятие зависимости случайных величин является очень принципиальным в теории вероятностей.

Условные рассредотачивания независящих случайных величин равны их бесспорным рассредотачиваниям.

Определим нужные и достаточные условия независимости случайных величин.

Аксиома. Для того, чтоб случайные величины Х и Y были независимы, нужно и довольно, чтоб функция рассредотачивания системы (X, Y) была равна произведению функций рассредотачивания составляющих.

Аналогичную аксиому можно сконструировать и для плотности рассредотачивания:

Аксиома. Для того, чтоб случайные величины Х и Y были независимы, нужно и довольно, чтоб плотность совместного рассредотачивания системы (X, Y) была равна произведению плотностей рассредотачивания составляющих.

Определение. Корреляционным моментом mxyслучайных величин Х и Y именуется математическое ожидание произведения отклонений этих величин.

Фактически употребляются формулы:

Для дискретных случайных величин:

Для непрерывных случайных величин:

Корреляционный момент служит для того, чтоб охарактеризовать связь меж случайными величинами. Если случайные величины независимы, то их корреляционный момент равен нулю.

Корреляционный момент имеет размерность, равную произведению размерностей случайных величин Х и Y. Данный факт является недочетом этой числовой свойства, т.к. при разных единицах измерения получаются разные корреляционные моменты, что затрудняет сопоставление корреляционных моментов разных случайных величин.

Для того, чтоб убрать этот недочет применятся другая черта – коэффициент корреляции.

Определение. Коэффициентом корреляции rxy случайных величин Х и Y именуется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин.

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной. Коэффициент корреляции независящих случайных величин равен нулю.

Свойство: Абсолютная величина корреляционного момента 2-ух случайных величин Х и Y не превосходит среднего геометрического их дисперсий.

Свойство: Абсолютная величина коэффициента корреляции не превосходит единицы.

Случайные величины именуются коррелированными, если их корреляционный момент отличен от нуля, и некоррелированными, если их корреляционный момент равен нулю.

Если случайные величины независимы, то они и некоррелированы, но из некоррелированности нельзя прийти к выводу о их независимости.

Если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными.

Нередко по данной плотности рассредотачивания системы случайных величин можно найти зависимость либо независимость этих величин.

Вместе с коэффициентом корреляции степень зависимости случайных величин можно охарактеризовать и другой величиной, которая именуется коэффициентом ковариации. Коэффициент ковариации определяется формулой:

Пример. Задана плотность рассредотачивания системы случайных величин Х и Y.

Узнать являются ли независящими случайные величины Х и Y.

Для решения этой задачки преобразуем плотность рассредотачивания:




Возможно Вам будут интересны работы похожие на: Правило трёх сигм:


Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Cпециально для Вас подготовлен образовательный документ: Правило трёх сигм