Краткий обзор геометрии пространства A4.

Лаконичный обзор геометрии места A4.


Определение.Пусть даны точка A и вектор a. Прямой проходящей через точку A в направлении вектора a именуется огромное количество точек

l = = ta, tÎR. (15)

Будем гласить, что ровная l задаётся уравнением = ta.

Определение.Пусть даны точка A и два неколлинеарных вектора c и d. Плоскостью, проходящей через точку A в направлении векторов c и dназывается огромное количество точек

p = = uc+vd, u,vÎR. (16)

Будем гласить, что плоскость p задаётся уравнением = uc+vd и обозначать так: p = (A, c, d).

Определение.Пусть даны точка A и три линейно независящих вектора a, b, c. Тогда огромное количество точек

P = = lf+mg +nh, l,m,nÎR. (17)

именуется гиперплоскостью, проходящей через точку A в направлении векторов f, g, h. Будем гласить, что гиперплоскость задаётся уравнением = lf+mg +nhи обозначать так: P = (A, f, g, h).

Заметим, что каждую прямую можно рассматривать, как одномерное аффинное место, плоскость – как двумерное, гиперплоскость – как трехмерное. К примеру, пусть M1, M2ÎP, т.е.



= l1f+m1g +n1h, = l2f+m2g +n2h.

Тогда

= – = (l1–l2)f+(m1–m2)g +(n1–n2)h.

Таким макаром, каждой паре точек M1, M2ÎP соответствует вектор . И этот вектор совершенно точно раскладывается по трём линейно независящим векторам f, g, h. Означает, f, g, h образуют базис B1={f, g, h} в аффинном пространстве P, и (l1–l2, m1–m2, n1–n2) в этом базисе. Четверка R ={A,f, g, h} образует репер и, к примеру, M1(l1, m1, n1)R.

Предложение 1. Каковы бы ни были две разные точки A, B существует и, притом, единственная ровная l, проходящая через эти точки.

Вправду, это будет ровная, которая проходит через A в направлении вектора : l = M. Разумеется, что при t=0 получим точку A, а при t=1 получим точку B. Будем писать l =AB. Подтверждение единственности опустим.

В предстоящем координаты точек, в отличие от координат векторов, будем обозначать большенными знаками.

Если A(X1o, X2o, X3o, X4o), a(a1, a1, a1, a4), b(b1, b1, b1, b4), то ровная (15) задается в координатах каноническим уравнением

= = =

либо параметрическими уравнениями

X1= X1o+ a1t,

X2= X2o+ a2t,

X3= X3o+ a3t,

X4= X4o+ a4t.

Плоскость (9) задается параметрическими уравнениями

X1= X1o+ ua1 + vb1,

X2= X2o+ ua2 + vb2,

X3= X3o+ ua3 + vb3,

X4= X4o+ ua4 + vb4.

Предложение 2. Каковы бы ни были три разные точки A, B, C существует и, притом, единственная плоскость p, проходящая через эти точки.

Вправду, это будет плоскость, которая проходит через A в направлении векторов и , т.е. задающаяся уравнением

= u + v.

Разумеется, что при u=1, v=0 получим точку A, а при u=0, v=1 получим точку B. Подтверждение единственности довольно длинноватое и мы его опустим.

Предложение 3. Каковы бы ни были четыре разные точки A, B, C существует и, притом, единственная гиперплоскость p, проходящая через эти точки.

Упражнение. Обоснуйте это без помощи других.

Предложение 4. Если две разные точки A и B принадлежат плоскости p, то все точки прямой AB принадлежат p.

Вправду, зададим плоскость уравнением = ua+vb, где a=. Тогда все точки прямой AB задаются этим же условием при переменном u и v=0.

Предложение 5. Если две разные плоскости a и b имеют две разные общие точки A и B, то все общие точки этих плоскостей лежат на прямой AB.

Вправду, если б нашлась общая точка C этих плоскостей, не лежащая на прямой AB, то согласно Предложению 2, эти плоскости должны могли быть совпасть.

Предложение 6. Если три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой, принадлежат некой гиперплоскости P, то и вся плоскость p=ABC принадлежит P.

Подтверждение аналогично подтверждению Предложения 4.

Предложение 7. Если две разные гиперплоскости P1 и P2 имеют общую точку A, то они пересекаются по плоскости (без подтверждения).

Предложение 8. Если плоскость p имеет общую точку с гиперплоскостью P, то или pÌP, или они пересекаются по прямой (без подтверждения).

Определение. Пусть ровная l задаётся уравнением =ta. Пусть M1, M2, M3 – три точки на прямой l: = t1a, = t2a, = t3a. Говорим, что M2 лежит меж M1 и M3, если t1< t2< t3, или t3< t2< t1.


Загрузка...

После чего можно найти, что такое отрезок, луч, треугольник. Можно обосновать, что ровная разбивает плоскость на две полуплоскости.

Определение. Пусть прямые l1 и l2 задаются соответственно уравнениями = taи = tb. Тогда говорим, что l1||l2, если a||b, и при всем этом прямые, как огромного количества точек, не совпадают. Пусть плоскость p задаётся уравнением = uc + vd. Тогда говорим, что l1||p, если вектор a раскладывается через cи d (т.е. a=u1c + v1d), и при всем этом ровная l1 не содержится в плоскости p.

Аналогично определяется параллельность прямой и гиперплоскости.

Определение. Пусть плоскость p задана уравнением = ua + vb, а гиперплоскость P – уравнением = lc+md +nf. Тогда говорим, что p||P, если векторы aи bраскладываются по базису {c, d, f}, и при всем этом peP.

Аналогично определяется параллельность 2-ух гиперплоскостей.

Можно обосновать последующие утверждения.

Предложение 9. Две прямые параллельны и тогда только тогда, когда они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Предложение 10. Ровная и плоскость параллельны и тогда только тогда, когда они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Предложение 11. Ровная параллельна гиперплоскости и тогда только тогда, когда она её не пересекает. Плоскость параллельна гиперплоскости и тогда только тогда, когда она её не пересекает. Две гиперплоскости параллельны и тогда только тогда, когда они не пересекаются.

В аффинном пространстве можно рассматривать гиперповерхности второго порядка. Их систематизация очень похожа на систематизацию поверхностей второго порядка. Отметим только два примера.

Уравнение X12+ X22 + X32 + X42 = 1 задаёт трёхмерную сферу. Её сечение хоть какой из координатных гиперплоскостей представляет собой обыденную двумерную сферу. Уравнение X12+ X22 + X32 – X42 = 1 задёт трёхмерный конус. Его сечение гиперплоскостью OX1X2X3представляет собой точку (надуманный конус), а сечение остальными координатными гиперплоскостями – двумерный конус. Сечение гиперплоскостями параллельными OX1X2X3представляют собой двумерную сферу.




Возможно Вам будут интересны работы похожие на: Краткий обзор геометрии пространства A4.:


Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Похожый реферат

Cпециально для Вас подготовлен образовательный документ: Краткий обзор геометрии пространства A4.